Mathematik 6

→  Zurück zur Übersicht

Änderungsmaße und Flächenberechnungen

Sie werden Funktionen differenzieren und integrieren. Das besondere an diesem Semester: Sie wissen danach, wozu man das macht. Differenzieren und Integrieren ist die Königinnen und Königsdisziplin der Mathematik. Sie hat einerseits eine mathematisch-handwerkliche Komponente, andererseits lernen Sie aber auch konkrete Anwendungen, zum Beispiel, um Flächen und Volumina zu berechnen. Bei diesem Thema gibt es einen vielfältigen Zusammenhang von theoretischer Mathematik und praktischer Aufgabenstellungen unseres Lebens, nämlich im Bereich der Änderungen von Größen.

Auch dem kreativen Teil der Mathematik werden Sie begegnen, nämlich Aufgabenstellungen zu erkennen und Lösungswege zu suchen.

1. Sicherung der Nachhaltigkeit

• Notwendiges Vorwissen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls wiederholen und aktivieren
• Grundlagen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls ergänzen und bereitstellen
• Grundkompetenzen nachhaltig sichern

2. Differentialrechnung

• Aus Daten Änderungsmaße berechnen und Änderungsmaße im Kontext interpretieren : absolute und relative Änderung, mittlere Änderungsrate, Änderungsfaktor
• Das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen, insbesondere durch rekursive Gleichungen der linearen und exponentiellen Funktion, beschreiben; Differenzengleichungen im Kontext interpretieren
• Den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differentialquotient („momentane“ Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes erläutern
• Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten interpretieren; entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben
• Differenzen- und Differentialquotienten (aus Funktionsgleichungen und Funktionsgraphen) ermitteln
• Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden : Potenzregel, Summenregel, Regeln für [k∙f(x)]´ und [f(k∙x)]´
• Wissen, dass gilt: [sin(x)]´ = cos(x), [cos(x)]´ = –sin(x) sowie [e(x)]´ = e(x)
• Den Begriff Ableitungsfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen
• Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben
• Eigenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion)en beschreiben : Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
• Polynomfunktionen untersuchen; einfache Extremwertaufgaben lösen (Ermittlung von Extremstellen in einem Intervall)
• Kontinuierliche Veränderungen von Größen durch Differentialgleichungen beschreiben und diese im Kontext interpretieren, einfache Differentialgleichungen lösen (optional)
• Weitere Ableitungsregeln (insbesondere die Kettenregel) kennen und für Funktionsuntersuchungen in verschiedenen Bereichen verwenden (optional)
• Den Begriff Stetigkeit kennen und erläutern (optional)
• Den Begriff Differenzierbarkeit sowie den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit kennen (optional)

3. Integralrechnung

• Den Begriff Stammfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen
• Den Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben
• Den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten interpretieren und beschreiben
• Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten interpretieren und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben (insbesondere Flächeninhalte, Volumina, Weglängen, Geschwindigkeiten, Arbeit und Energie; allenfalls weitere physikalische Deutungen)
• Einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden : Potenzregel, Summenregel ; bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln