MATHEMATIK

Lehrplan – Quelle: RIS.GV.AT, abgerufen am 1.9.2020

Bildungs- und Lehraufgabe (1. bis 8. Semester):

Der Mathematikunterricht soll beitragen, dass Studierende ihrer Verantwortung für lebensbegleitendes Lernen besser nachkommen können. Dies geschieht vor allem durch die Erziehung zu analytisch-folgerichtigem Denken und durch die Vermittlung von mathematischen Kompetenzen, die von grundlegender Bedeutung für das Fach und relevant für viele Lebensbereiche sind. Beim Erwerben dieser Kompetenzen sollen die Studierenden die vielfältigen Aspekte der Mathematik und die Beiträge des Gegenstandes zu verschiedenen Bildungsbereichen erkennen.

Die mathematische Beschreibung von Strukturen und Prozessen der uns umgebenden Welt, die daraus resultierende vertiefte Einsicht in Zusammenhänge und das Lösen von Problemen durch mathematische Verfahren und Techniken sind zentrale Anliegen des Mathematikunterrichts.

Aspekte der Mathematik

Schöpferisch-kreativer Aspekt: In der Mathematik werden das Denken geschult, Strategien aufgebaut, die Phantasie angeregt und die Kreativität gefördert.

Sprachlicher Aspekt: Mathematik entwickelt die Fähigkeit zum Argumentieren, Kritisieren und Urteilen und fördert die Fähigkeit, zugleich verständlich und präzise zu sprechen. Das mathematische Prinzip, dass Behauptungen begründet werden müssen, soll Vorbild für andere Fächer und gesellschaftliche Bereiche sein. Das Verwenden von mathematischen Symbolen bildet eine Basis für exaktes Formulieren und Arbeiten.

Erkenntnistheoretischer Aspekt: Mathematik ist eine spezielle Form der Erfassung unserer Erfahrungswelt. Sie ist eine spezifische Art, die Erscheinungen der Welt wahrzunehmen und durch Abstraktion zu verstehen. Mathematisierung eines realen Phänomens kann die Alltagserfahrung wesentlich vertiefen.

Pragmatisch-anwendungsorientierter Aspekt: Mathematik ist ein nützliches Werkzeug und Methodenreservoir für viele Disziplinen und Voraussetzung für viele Studien und Berufsfelder.

Autonomer Aspekt: Mathematische Gegenstände und Sachverhalte bilden als geistige Schöpfungen eine deduktiv geordnete Welt, in der Aussagen – von festgelegten Prämissen ausgehend – stringent abgeleitet werden können. Mathematik befähigt damit, dem eigenen Denken mehr zu vertrauen als fremden Meinungsmachern, und fördert so den demokratischen Prozess.

Kulturell-historischer Aspekt: Die maßgebliche Rolle mathematischer Erkenntnisse und Leistungen in der Entwicklung des europäischen Kultur- und Geisteslebens – insbesondere eng verknüpft mit der Naturwissenschaft – macht Mathematik zu einem unverzichtbaren Bestandteil der Allgemeinbildung.

Beiträge zu den Bildungsbereichen

Sprache und Kommunikation: Mathematik geht – vor allem durch ihre Fachbegriffe, Symbole und Darstellungen – über die Umgangssprache hinaus, sie präzisiert Aussagen und verdichtet sie. Der Unterricht soll ein Bewusstsein dafür schaffen, dass Mathematik Kommunikationsangebote darstellt.

Mensch und Gesellschaft: Der Unterricht soll aufzeigen, dass Mathematik in vielen Bereichen des Lebens (Finanzwirtschaft, Soziologie, Medizin) eine wichtige Rolle spielt.

Natur und Technik: Viele Naturphänomene lassen sich mit Hilfe der Mathematik adäquat beschreiben und damit auch verstehen. Der Unterricht soll zeigen, dass die Mathematik eine Fülle von Methoden zur Verfügung stellt, mit denen Probleme bearbeitbar werden.

Kreativität und Gestaltung: Mathematik besitzt neben der deduktiven auch eine induktive Seite. Vor allem das Experimentieren im Rahmen der Bearbeitung neuer Aufgaben und Probleme macht diese Seite sichtbar, bei der Kreativität und Einfallsreichtum gefördert werden.

Didaktische Grundsätze (1. bis 8. Semester):

Im Mathematikunterricht soll verständnisvolles Lernen als individueller, aktiver und konstruktiver Prozess im Vordergrund stehen. Die Studierenden sollen durch eigene Tätigkeiten Einsichten gewinnen und so mathematische Begriffe und Methoden in ihr Wissenssystem einbauen.

Im Sinne der Methodenvielfalt ist bei jedem der folgenden Grundsätze eine Bandbreite der Umsetzung angegeben, innerhalb der eine konkrete Realisierung – angepasst an die jeweilige Unterrichtssituation – erfolgen soll. Wenn von minimaler und maximaler Realisierung die Rede ist, soll dies nicht im Sinne einer Wertung verstanden werden.

Lernen in anwendungsorientierten Kontexten: Anwendungsorientierte Kontexte verdeutlichen die Nützlichkeit der Mathematik in verschiedenen Lebensbereichen und motivieren so dazu, neues Wissen und neue Fähigkeiten zu erwerben. Vernetzungen der Inhalte durch geeigneten fächerübergreifenden Unterricht sind anzustreben. Die minimale Realisierung besteht in der Thematisierung mathematischer Anwendungen bei ausgewählten Inhalten, die maximale Realisierung in der ständigen Einbeziehung anwendungsorientierter Aufgaben- und Problemstellungen zusammen mit einer Reflexion des jeweiligen Modellbildungsprozesses hinsichtlich seiner Vorteile und seiner Grenzen.

Lernen in Phasen: Unter Beachtung der Vorkenntnisse sind Begriffe in der Regel in einer ersten Phase auf einer konkret-anschaulichen, intuitiven oder heuristischen Ebene zu behandeln, bei einfachen Anwendungen zu erproben und erst in einer späteren Phase zu vertiefen, ergänzen, verallgemeinern oder exaktifizieren. Die minimale Realisierung besteht in der Orientierung am Vorwissen der Studierenden und der Einführung von Begriffen über intuitive und heuristische Ansätze mit exemplarischen Exaktifizierungen, die maximale Realisierung in einer weit reichenden Präzisierung mathematischer Begriffe, Sätze und Methoden.

Lernen im sozialen Umfeld: Der Einsatz passender Sozialformen ist auf die angestrebten Lernziele, die Eigenart der Inhalte und auf die jeweilige Lerngruppe abzustimmen. Ein konstruktives Klima zwischen Lehrenden und Lernenden und innerhalb dieser Gruppen ist hilfreich für jeden Lernprozess. Die minimale Realisierung besteht im situationsbezogenen Wechsel der Sozialformen im Unterricht, die maximale Realisierung im Vermitteln elementarer Techniken und Regeln für gute Team- und Projektarbeit sowie in der Kooperation mit außerschulischen Expertinnen und Experten.

Lernen unter vielfältigen Aspekten: Einzelne Inhalte und Probleme sind aus verschiedenen Blickwinkeln zu sehen und aus verschiedenen Richtungen zu beleuchten. Vielfältige Sichtweisen sichern eine große Flexibilität bei der Anwendung des Gelernten und Erkennen des Gelernten in neuen bzw. nicht vertrauten Zusammenhängen und Problemstellungen. Die minimale Realisierung besteht in der gelegentlichen Verdeutlichung verschiedener Sichtweisen bei der Behandlung neuer Inhalte, die maximale Realisierung im Herstellen von Querverbindungen und im konsequenten Herausarbeiten der Vor- und Nachteile verschiedener Zugänge. Damit wird ein vielschichtiges und ausgewogenes Bild der Mathematik gewonnen.

Lernen mit instruktionaler Unterstützung: Lernen ohne instruktionale Unterstützung ist in der Regel – insbesondere in Mathematik – wenig effektiv und führt leicht zur Überforderung. Lehrerinnen und Lehrer müssen Studierende anleiten und insbesondere bei Problemen gezielt unterstützen. Die minimale Realisierung besteht in der Bereitstellung von studierendenadäquaten Lernumgebungen und Lernangeboten, die maximale Realisierung in Differenzierungsmaßnahmen, durch die individuelle Begabungen, Fähigkeiten, Neigungen, Bedürfnisse und Interessen gefördert werden.

Lernen mit medialer Unterstützung: Die Beschaffung, Verarbeitung und Bewertung von Informationen hat auch mit Büchern (zB dem Schulbuch), Zeitschriften und mit Hilfe elektronischer Medien zu erfolgen. Nutzen und Problematik mathematischer Inhalte und Lernhilfen im Internet sind hier zu thematisieren. Die minimale Realisierung besteht in der gelegentlichen Einbeziehung derartiger Medien, die maximale Realisierung im gezielten Erwerb von Kompetenzen, die von der Informationsbeschaffung bis zur eigenständigen Abfassung und Präsentation mathematischer Texte reichen.

Lernen mit technologischer Unterstützung: Technologische Hilfsmittel sollen in allen Kompetenzbereichen sinnvoll zum Einsatz kommen. Sie müssen zumindest über grundlegende Funktionen zur Darstellung von Funktionen, Kurven und anderen geometrischen Objekten, zum symbolischen Umformen von Termen und Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen, zur Ermittlung von Ableitungs- und Stammfunktionen, zur Integration sowie zur Unterstützung bei Methoden und Verfahren in der Stochastik verfügen. Sachgerechtes und sinnvolles Nutzen technologischer Hilfsmittel durch geplantes Vorgehen ist sicherzustellen. Die minimale Realisierung besteht im Einsatz entsprechender Hilfsmittel beim Lösen von Aufgaben und dem gelegentlichen Einsatz als didaktisches Werkzeug beim Erarbeiten neuer Inhalte. Die maximale Realisierung ist die ständige Verfügbarkeit und der sinnvolle Einsatz derartiger Technologien als Werkzeug beim Modellieren, Visualisieren und Experimentieren.

Sicherung des Unterrichtsertrages/(schriftliche) Leitungsfeststellungen

Zur Sicherung des Unterrichtsertrages bieten sich Einzel-, Team- und Gruppenarbeiten, Projektarbeiten und regelmäßige (nicht verpflichtende) Hausübungen an. Für den Zeitrahmen von Schularbeiten findet der Abschnitt „Leistungsfeststellung“ des dritten Teiles mit der Maßgabe Anwendung, dass bei mehrstündigen Schularbeiten zwei voneinander unabhängige Aufgabenbereiche bezüglich „Grundkompetenzen“ und „Vernetzung von Grundkompetenzen“ vorgelegt und bearbeitet werden können. Bei der Bearbeitung beider Aufgabenbereiche sind der Einsatz von herkömmlichen Schreibgeräten, Bleistiften, Lineal, Geo-Dreieck und Zirkel sowie die Verwendung von Formelsammlungen, die vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegeben werden, oder von anderen geeigneten Formelsammlungen und elektronische Hilfsmittel zulässig.

Anzahl und Dauer von Schularbeiten:

Der Zeitrahmen für Schularbeiten ist dem Abschnitt „Leistungsfeststellung“ des Dritten Teiles zu entnehmen.

Bildungs- und Lehraufgabe, Lehrstoff:

Der Lehrplan geht von drei Wochenstunden in jedem Modul aus. Bei höherer Dotierung ist vor allem eine vertiefte und aspektreichere Behandlung der Lerninhalte anzustreben. Die kursiv gesetzten Inhalte sind nur für Schulformen mit mehr als drei Wochenstunden obligatorisch.

Mathematische Kompetenzen

Mathematische Kompetenzen besitzen eine Inhaltsdimension (auf welche Inhalte sie sich beziehen, also womit etwas getan wird), eine Handlungsdimension (auf welche Art von Tätigkeit sie sich beziehen, also was getan wird) und eine Komplexitätsdimension (bezogen auf die Art und den Grad der Vernetzungen). Unter mathematischen Kompetenzen werden hier längerfristig verfügbare kognitive Fähigkeiten verstanden, die von Lernenden entwickelt werden sollen und sie befähigen, bestimmte Tätigkeiten in variablen Situationen auszuüben, sowie die Bereitschaft, diese Fähigkeiten und Fertigkeiten einzusetzen.

Inhaltsdimension: Mathematische Kompetenz erfordert Kenntnisse und Wissen aus den Bereichen Algebra und Geometrie, funktionale Abhängigkeiten, Analysis und Wahrscheinlichkeit und Statistik.

Handlungsdimension: Mathematische Kompetenz erfordert Fertigkeiten und Fähigkeiten bei folgenden Tätigkeiten:

Darstellend-modellierendes Arbeiten umfasst alle Aktivitäten, die mit der Übersetzung von Situationen, Zuständen und Prozessen aus der Alltagssprache in die Sprache der Mathematik zu tun haben. Auch der innermathematische Wechsel von Darstellungsformen gehört zu diesen Aktivitäten.

Formal-operatives Arbeiten umfasst alle Aktivitäten, die auf Kalkülen bzw. Algorithmen beruhen, also das Anwenden von Verfahren, Rechenmethoden oder Techniken.

Interpretierend-dokumentierendes Arbeiten umfasst alle Aktivitäten, die mit der Übersetzung mathematischer Darstellungen, Zusammenhänge und Sachverhalte in die Alltagssprache sowie der Deutung und Dokumentation von mathematischen Darstellungen und Ergebnissen zu tun haben.

Kritisch-argumentatives Arbeiten umfasst alle Aktivitäten, die mit Argumentieren, Hinterfragen, Ausloten von Grenzen und Begründen zu tun haben. Das Beweisen von Behauptungen oder heuristisch gewonnener Vermutungen ist ein Schwerpunkt dieses Tätigkeitsbereichs.

Komplexitätsdimension: Die zur Bewältigung mathematischer Aufgaben- und Problemstellungen notwendigen Anforderungen können stark differieren und gehen von Reproduktion über Vernetzungen hin zur Reflexion.

Einsetzen von Grundwissen und Grundfähigkeiten meint die Darstellung, Interpretation oder direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen und Verfahren. In der Regel sind nur reproduktives mathematisches Wissen und Können oder die direkte Anwendung von Kenntnissen und Fertigkeiten erforderlich.

Herstellen von Verbindungen ist erforderlich, wenn der mathematische Sachverhalt vielschichtiger ist, sodass Begriffe, Sätze, Verfahren und Darstellungen aus einem oder verschiedenen mathematischen Gebieten oder unterschiedliche mathematische Tätigkeiten in geeigneter Weise miteinander verbunden werden müssen.

Problemlösen und Reflektieren: Problemlösen baut auf Eigentätigkeit und heuristischen Strategien in nicht vertrauten Situationen auf. Reflektieren meint das Nachdenken über Zusammenhänge, die sich aus dem dargelegten mathematischen Sachverhalt nicht von selbst ergeben. Reflexionswissen ist ein anhand entsprechender Nachdenkprozesse entwickeltes Wissen über Mathematik.

Aufbauender Charakter – Sicherung der Nachhaltigkeit

Da Mathematik aufbauend strukturiert ist, ist auf die Aktivierung des notwendigen Vorwissens, die Wiederholung und die Sicherung der Nachhaltigkeit zu achten. Die Kompetenzmodule 1 und 2 dienen hauptsächlich der Wiederholung und Vertiefung des Lehrstoffes der Unterstufe und sind vor allem als Einstiegshilfe für jene Studierenden gedacht, die über einen längeren Zeitraum keine weiterführende Schule besucht haben.

Wegen der unterschiedlichen Länge von Winter- und Sommersemester sind Verschiebungen von Inhalten möglich.

1. Semester – Kompetenzmodul 1 („Elementare Algebra und Geometrie I“)

Mengen, Zahlen und Rechengesetze

Grundlegende Begriffe über Aussagen und Mengen kennen und verständig einsetzen

Die Bezeichnungen der Zahlenmengen ℕ, ℤ und ℚ sowie die Teilmengenbeziehung kennen, Beispiele für Elemente angeben

Natürliche, ganze und rationale Zahlen bildhaft, auf der Zahlengerade sowie symbolisch, dabei insbesondere im Stellenwertsystem, darstellen, zwischen diesen Darstellungsformen wechseln, Darstellungen von natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen den entsprechenden Zahlenmengen zuordnen

Mit natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen rechnen

Über das Erweitern von Zahlenmengen anhand von natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen reflektieren

Die Definition von Potenzen mit natürlichen und ganzen Hochzahlen angeben, Rechengesetze für Potenzen angeben und anwenden; Zehnerpotenzen zum Erfassen von sehr kleinen und sehr großen Zahlen einsetzen

Mit Primzahlen und Teilern arbeiten; Teilbarkeitsfragen untersuchen

Terme und Gleichungen

Einfache Terme und Formeln aufstellen und im Kontext interpretieren

Umformungsregeln für lineare Gleichungen in einer Variablen kennen und anwenden, lineare Gleichungen in einer Variablen lösen, die Lösung im Kontext interpretieren

Einfache Formeln umformen

Geometrie

Objekte der elementaren Geometrie kennen und einordnen : Punkt, Gerade, Strecke, Ebene, Figuren der Ebene (Dreieck, Vierecke, Kreis), Raum, Körper (Prismen, Pyramiden, Kugel)

Wichtige geometrische Beziehungen wissen (Winkel, parallel, normal), Grundtätigkeiten ausführen (Längen messen und auftragen, Winkel messen und auftragen, parallele und normale Gerade zeichnen, Strecken halbieren)

Eigenschaften von Dreiecken und Vierecken wissen und zur Beschreibung (auch von speziellen Dreiecken und Vierecken) nutzen

Flächenformeln von Dreiecken und Vierecken herleiten und für Berechnungen nutzen

2. Semester – Kompetenzmodul 2 („Elementare Algebra und Geometrie II“)

Sicherung der Nachhaltigkeit

Notwendiges Vorwissen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls wiederholen und aktivieren

Grundlagen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls ergänzen und bereitstellen

Grundkompetenzen nachhaltig sichern

Mengen, Zahlen und Rechengesetze

Die Bezeichnungen der Zahlenmengen ℝ und ℂ sowie die Teilmengenbeziehung der Zahlbereiche kennen, Beispiele für Elemente angeben

Reelle und komplexe Zahlen auf der Zahlengerade bzw. (als Punkte) in der Zahlenebene sowie symbolisch darstellen, zwischen diesen Darstellungsformen wechseln, Darstellungen von Zahlen den entsprechenden Zahlenmengen zuordnen

Über das Erweitern von Zahlenmengen reflektieren

Die Definition von Potenzen mit rationalen Hochzahlen angeben, Rechengesetze für Potenzen angeben und anwenden

Terme, Gleichungen, Ungleichungen

Umformungsregeln für einfache Terme wissen und anwenden : Addieren/Subtrahieren von Monomen, Multiplizieren von Monomen und Binomen, Herausheben von Teiltermen

Termstrukturen analysieren, Formeln umformen

Lineare Ungleichungen aufstellen und im Kontext interpretieren

Lineare Ungleichungen in einer Variablen lösen, Lösungen grafisch darstellen, Lösungen im Kontext interpretieren

Geometrie

Den pythagoräischen Lehrsatz wissen und für Berechnungen nutzen

Flächen- und Umfangsformeln von Kreis und Kreisteilen für Berechnungen nutzen

Volums- und Oberflächenformeln von Körpern für Berechnungen nutzen

3. Semester – Kompetenzmodul 3 („Funktionale Abhängigkeiten I“)

Sicherung der Nachhaltigkeit

Notwendiges Vorwissen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls wiederholen und aktivieren

Grundlagen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls ergänzen und bereitstellen

Grundkompetenzen nachhaltig sichern

Funktionsbegriff, Darstellungsformen, Eigenschaften

Für gegebene Zusammenhänge entscheiden, ob man sie als (reelle) Funktionen betrachten kann

Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext interpretieren; zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln

Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext interpretieren und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen : Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen

Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen

Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten

Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren

Durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext interpretieren, Funktionswerte ermitteln

Lineare Funktion [ f(x) = k ∙ x + d ]

Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln; die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten

Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext interpretieren

Die Wirkung der Parameter k und d kennen und im Kontext interpretieren

Charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext interpretieren :

f(x

+ 1) = f(x) + k; (f(x2) – f(x1)) / (x2 – x1) = k

Direkte Proportionalität als lineare Funktion beschreiben

Arithmetische Folgen als lineare Funktionen mit ℕ als Definitionsbereich auffassen und anwenden

Potenzfunktion mit f(x) = a ∙ xz + b, z ∊ ℤ, oder mit f(x) = a ∙ x1/2 + b

Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln

Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext interpretieren

Die Wirkung der Parameter a und b kennen und im Kontext interpretieren

Indirekte Proportionalität als Potenzfunktion beschreiben

Polynomfunktion, quadratische Gleichungen

Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln; aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen Argumentwerte ermitteln

Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen; den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen wissen

Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) interpretieren

Einfache Polynomgleichungen 3. und 4. Grades in einer Variablen lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) interpretieren

4. Semester – Kompetenzmodul 4 („Funktionale Abhängigkeiten II“)

Sicherung der Nachhaltigkeit

Notwendiges Vorwissen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls wiederholen und aktivieren

Grundlagen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls ergänzen und bereitstellen

Grundkompetenzen nachhaltig sichern

Funktionsbegriff, Darstellungsformen, Eigenschaften

Einen Überblick über die wichtigsten Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen

Exponentialfunktion [ bzw. mit ]

Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln; die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten

Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter a und b (bzw. eλ) ermitteln und im Kontext interpretieren, Logarithmen definieren

Die Wirkung der Parameter a und b (bzw. eλ) kennen und im Kontext interpretieren

Charakteristische Eigenschaft (f(x + 1) = b ∙ f(x)) kennen und im Kontext interpretieren

Die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext interpretieren

Geometrische Folgen als exponentielle Funktionen mit ℕ als Definitionsbereich auffassen und anwenden

Sinusfunktion, Cosinusfunktion

Grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art f(x)=asin(bx) als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln

Aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext interpretieren

Die Wirkung der Parameter a und b kennen und im Kontext interpretieren

Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext interpretieren

Wissen, dass cos(x) = sin(x + π/2)

Trigonometrie

Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen

Definitionen von Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90° kennen und einsetzen

Beliebige Dreiecke (mit Sinussatz und/oder Cosinussatz) auflösen; Figuren in Dreiecke zerlegen und Vermessungsaufgaben in einer Ebene lösen

5. Semester – Kompetenzmodul 5 („[Lineare] Algebra und analytische Geometrie“)

Sicherung der Nachhaltigkeit

Notwendiges Vorwissen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls wiederholen und aktivieren

Grundlagen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls ergänzen und bereitstellen

Grundkompetenzen nachhaltig sichern

Gleichungen und Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen und (auch geometrisch) interpretieren

Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen umformen/lösen; die Lösung (auch geometrisch) interpretieren

Für lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen die Lösbarkeit untersuchen; die Lösungsfälle geometrisch interpretieren

Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen lösen

Vektoren

Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext interpretieren

Definition der Rechenoperationen mit Vektoren als Zahlentupel (Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen im Kontext interpretieren und verständig einsetzen

Vektoren und (lineare) analytische Geometrie der Ebene

Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) interpretieren und verständig einsetzen

Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) geometrisch interpretieren und verständig einsetzen

Betrag eines Vektors (als Länge eines Pfeiles) interpretieren und verständig einsetzen, Einheitsvektoren bilden und verständig einsetzen, Abstände ermitteln

Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in ℝ² und durch Gleichungen (Normalvektorgleichungen in Koordinatenform) in ℝ angeben; Geradengleichungen interpretieren; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln

Normalvektoren in ℝ² aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren

Vektoren und (lineare) analytische Geometrie des Raumes

Möglichkeiten und Grenzen der Übertragung von Begriffen und Methoden aus der analytischen Geometrie der Ebene darlegen

Rechenoperationen sowie die Konzepte von Betrag/Einheitsvektor und Parameterform der Geradengleichung auch im Raum geometrisch deuten und verständig einsetzen

Vektoren und (nichtlineare) analytische Geometrie der Ebene

Kreise durch Gleichungen angeben; Kreisgleichungen interpretieren

Lagebeziehungen (zwischen Kreis und Punkt sowie zwischen Kreis und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln; Tangenten durch Gleichungen angeben

Kegelschnitte durch Gleichungen angeben; Kegelschnittsgleichungen interpretieren

Die gegenseitige Lage von Kegelschnitt und Gerade bestimmen und allenfalls vorhandene Schnittpunkte berechnen; eine Gleichung der Tangente in einem Punkt eines Kegelschnitts ermitteln

Ebene Kurven (allenfalls auch Kurven im Raum) durch Parameterdarstellungen beschreiben

6. Semester – Kompetenzmodul 6 („Analysis“)

Sicherung der Nachhaltigkeit

Notwendiges Vorwissen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls wiederholen und aktivieren

Grundlagen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls ergänzen und bereitstellen

Grundkompetenzen nachhaltig sichern

Differentialrechnung

Aus Daten Änderungsmaße berechnen und Änderungsmaße im Kontext interpretieren : absolute und relative Änderung, mittlere Änderungsrate, Änderungsfaktor

Das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen, insbesondere durch rekursive Gleichungen der linearen und exponentiellen Funktion, beschreiben; Differenzengleichungen im Kontext interpretieren

Den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differentialquotient („momentane“ Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes erläutern

Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten interpretieren; entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben

Differenzen- und Differentialquotienten (aus Funktionsgleichungen und Funktionsgraphen) ermitteln

Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden : Potenzregel, Summenregel, Regeln für [k∙f(x)]´ und [f(k∙x)]´

Wissen, dass gilt: [sin(x)]´ = cos(x), [cos(x)]´ = –sin(x) sowie [e(x)]´ = e(x)

Den Begriff Ableitungsfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen

Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben

Eigenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion)en beschreiben : Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen

Polynomfunktionen untersuchen; einfache Extremwertaufgaben lösen (Ermittlung von Extremstellen in einem Intervall)

Kontinuierliche Veränderungen von Größen durch Differentialgleichungen beschreiben und diese im Kontext interpretieren, einfache Differentialgleichungen lösen

Weitere Ableitungsregeln (insbesondere die Kettenregel) kennen und für Funktionsuntersuchungen in verschiedenen Bereichen verwenden

Den Begriff Stetigkeit kennen und erläutern

Den Begriff Differenzierbarkeit sowie den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit kennen

Integralrechnung

Den Begriff Stammfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen

Den Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben

Den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten interpretieren und beschreiben

Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten interpretieren und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben (insbesondere Flächeninhalte, Volumina, Weglängen, Geschwindigkeiten, Arbeit und Energie; allenfalls weitere physikalische Deutungen)

Einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden : Potenzregel, Summenregel ; bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln

7. Semester – Kompetenzmodul 7 („Stochastik“)

Sicherung der Nachhaltigkeit

Notwendiges Vorwissen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls wiederholen und aktivieren

Grundlagen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls ergänzen und bereitstellen

Grundkompetenzen nachhaltig sichern

Beschreibende Statistik

Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ermitteln und im jeweiligen Kontext interpretieren : Stabdiagramm (bzw. Säulendiagramm, Balkendiagramm), Kreisdiagramm, Liniendiagramm, Prozentstreifen, Piktogramm, Stängel-Blatt-Diagramm, Kastenschaubild, Histogramm (mit gleichen Klassenbreiten), Streudiagramm (bzw. Punktwolkendiagramm)

Tabellen und elementare statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln

Stärken, Schwächen und Manipulationsmöglichkeiten elementarer statistischer Grafiken nennen und in Anwendungen berücksichtigen

Statistische Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln und im Kontext interpretieren : absolute und relative Häufigkeiten, arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz und Standardabweichung

Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen

Wahrscheinlichkeitsrechnung, Grundbegriffe

Grundraum und Ereignisse in vorgegebenen Situationen verbal bzw. formal angeben

Relative Häufigkeit einer Versuchsserie (frequentistische Deutung) bzw. relativen Anteil (unter Verwendung der Laplace-Annahme) als Wahrscheinlichkeit interpretieren und umgekehrt Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit einer Versuchsserie bzw. als relativen Anteil interpretieren

Additionsregel und Multiplikationsregel für Wahrscheinlichkeiten anwenden und interpretieren, Situationen mit Hilfe von Baumdiagrammen darstellen und diese Darstellungen interpretieren, den Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit kennen und verständig einsetzen

Den Satz von Bayes kennen und anwenden

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die Begriffe Zufallsvariable, (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung, Erwartungswert und Standardabweichung verständig interpretieren und einsetzen

Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen, Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben, den Binomialkoeffizienten und seine wichtigsten Eigenschaften kennen, einzelne Wahrscheinlichkeitswerte und Intervallwahrscheinlichkeiten ermitteln und im Kontext interpretieren

Situationen erkennen und beschreiben, in denen mit Binomialverteilung angemessen modelliert werden kann

Die Normalverteilung als Approximation der Binomialverteilung anwenden

Dichte- und Verteilungsfunktion normalverteilter Zufallsgrößen verständig interpretieren und einsetzen, Intervallwahrscheinlichkeiten aus der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ermitteln und im Kontext interpretieren

Symmetrische Intervalle um den Erwartungswert („Schätzbereiche“ für Zufallsvariable) als wichtiges Mittel zur Beschreibung des Verhaltens von Stichproben kennen; Schätzbereiche für relative Häufigkeiten (bei Modellierung mit der Normalapproximation der Binomialverteilung) ermitteln; den Zusammenhang zwischen Stichprobengröße, Intervallbreite und Sicherheit allgemein beschreiben und in konkreten Situationen erläutern

Schließende/Beurteilende Statistik

Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil p auf Basis einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung ermitteln und im jeweiligen Kontext interpretieren; Formel(n) für die Stichprobengröße interpretieren (Zusammenhang mit Sicherheit, Intervallbreite und Stichprobenparameter) und erforderliche Stichprobengröße daraus ermitteln

Einfache statistische Hypothesentests durchführen und deren Ergebnisse interpretieren

8. Semester – Kompetenzmodul 8 („Wiederholung und Vertiefung“)

Sicherung der Nachhaltigkeit

Wiederholen, Vertiefen von Fähigkeiten und Vernetzen von Inhalten, um einen umfassenden Überblick über die Zusammenhänge unterschiedlicher mathematischer Gebiete zu gewinnen