Wie schnell man fahren darf, bestimmt den Weg, den man etwa in einer Stunde zurücklegen kann. Der Zusammenhang zwischen Weg und Geschwindigkeit ist durch die Differential- und Integralrechnung exzellent zu beschreiben.

Differentiations- und Integrationsmethoden, Flächen- und Volumsberechnungen

Sie werden Funktionen differenzieren und integrieren. Das besondere an diesem Semester: Sie wissen danach, wozu man das macht.

Differenzieren und Integrieren ist die Königinnen und Königsdisziplin der Mathematik. Sie hat einerseits eine mathematisch-handwerkliche Komponente, andererseits lernen Sie aber auch konkrete Anwendungen, zum Beispiel, um Flächen und Volumina zu berechnen.

Bei diesem Thema gibt es einen vielfältigen Zusammenhang von theoretischer Mathematik und praktischer Aufgabenstellungen unseres Lebens, nämlich im Bereich der Änderungen von Größen.

Auch dem kreativen Teil der Mathematik werden Sie begegnen, nämlich Aufgabenstellungen zu erkennen und Lösungswege zu suchen.

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Teilnehmer/innen

  • Studierende im 6. Semester
  • Voraussetzungen: Mathematik 1-5 oder Anrechnung dieser Module

Anrechnungen

  • Wird angerechnet bei positivem Abschluss der 7. Klasse AHS

Hier kommt bald ein kleiner Test, den Sie online anonym durchführen können. Wenn Sie auf Anhieb ohne Hilfsmittel mindestens 80% erreichen, kennen Sie sich im Stoff dieses Semesters gut aus.

 

Schul- und Unterrichtsform

Der Unterricht findet im Programm der Abendschule vor Ort in Klassenräumen statt. Im Fernstudium wird ein Teil des Kurses als Selbstudium geführt.

  • Abendschule: 3 Wochenstunden Anwesenheit, Lehrerinnenvortrag und Übungen, Computereinsatz, selbständiges Lernen im Klassenverband, Hausübungen nach Wunsch
  • Fernstudium: Im Schnitt 1,5 Wochenstunden Anwesenheit, mindestens 1,5 Wochenstunden Anwesenheit, 2 Wochenstunden Selbststudium, Lehrerinnenvortrag und Übungen, Computereinsatz, e-Learning Plattform: Moodle, selbständiges Lernen im Klassenverband, Hausübungen nach Wunsch und Vorgabe

Buch und Hilfsmittel

  • Mathematikbuch: Malle 7 und 8
  • Taschenrechner, Formelsammlung
  • Online Mathematiktool: http://www.wolframalpha.com
  • Moodle e-Learning Plattform im Fernstudium: Link (Zugang wird von Lehrerinnen im Kurs bekanntgegeben

Empfohlene Stundenteilnahme

Mindestens 75%

Rahmen für Notengebung

Die genauen Notenmodalitäten werden durch die Kursleiterinnen bekanntgegeben und in einer Leistungsvereinbarung zu Beginn des Semesters festgehalten.

  • Pflicht
    • 1 Schularbeit (1- oder 2-stündig)
  •  Optional von Kursleiterinnen einsetzbar
    • 2. Schularbeit (1- oder 2-stündig)
    • Portfolio
    • Andere Möglichkeiten des Leistungsnachweises
  • Gerne gesehen
    • Mitarbeit
    • Hausübungen


Was sind Grundkompetenzen und Grundbegriffe?

Grundkompetenzen und Grundbegriffe ist das minimale Können und Wissen, das Sie nach Kursende ausgezeichnet beherrschen sollen. Es ist für den Erhalt einer positiven Note ausreichend.

Jede weitere Vertiefung, wie sie etwa im Rahmen des Unterrichts gelehrt und geübt wurde, führt zu mehr Wissen und einer besseren Note.


In zunehmenden Maße werden Schularbeiten und Kolloquienangaben auch am Abendgymnasium dem Format der neuen Reifeprüfung angepasst. Bitte informieren Sie sich in den Mathematikmodulen ab dem 3. Semester bei Ihren Lehrerinnen, ob klassische Schularbeitsaufgaben zu erwarten sind, oder die neuen Aufgabenformate. In aufsteigender Weise werden diese neuen Aufgabenformate bereits von allen Lehrerinnen im 1. und 2. Semester verwendet. Hier finden Sie eine Übersicht über diese Aufgabenformate, die mit den Vorgaben von BIFIE und BMUKK konform sind.

Bitte beachten Sie, dass Unterrichtsaufgaben und Prüfungsaufgaben unterschieden werden müssen.


Inhalt und Aufbau

1. Thema: Differentialrechnung

  • Beschreiben von Änderungen durch Änderungsmaße (Differenzenquotient)
  • Definieren des Differentialquotienten (Änderungsrate), ausgehend vom Differenzenquotienten(mittlere Änderungsrate), unter Verwendung eines intuitiven Grenzwertbegriffes
  • Deuten dieser Begriffe als Sekanten- bzw. Tangentensteigung
  • Kennen des Begriffes Ableitungsfunktion, Deuten der ersten Ableitung
  • Deuten der zweiten Ableitung
  • Kennen und Anwenden von Differentiationsregeln, insbesondere zur Ableitung von Polynomfunktionen
  • Untersuchen von Funktionen (insbesondere Polynomfunktionen) bezüglich Monotonie und Krümmungsverhalten, Ermitteln von Extrem- und Wendestellen
  • Anwendungen der Differentialrechnung, beispielsweise aus der Optimierung (Extremwertaufgaben) oder aus der Wirtschaftsmathematik

Sie beherrschen diese Grundkompetenzen …

  1. die Grundfunktionen differenzieren
  2. die Summenregel, Potenzregel, Regeln für [k · f(x)]’ und [f(k · x)]’  (BIFIE spricht explizit nicht von Produkt, Quotienten- und Kettenregel)
  3. eine Polynomfunktion sauber mehrfach differenzieren
  4. eine einfache vollständige Kurvendiskussion einer Polynomfunktion durchführen
  5. Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
  6. einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen
  7. den Zusammenhang der Ableitung mit dem Parameter k einer linearen Funktion erkennen: k = f(x)’
  8. Polynomfunktionen: Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen, Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln, aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können, den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen wissen. Anmerkung: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige n bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit n ≤ 4. Argumentwerte sollen aus Tabellen und Graphen, für Polynomfunktionen bis n = 2 und solchen, die sich durch einfaches Herausheben oder einfache Substitution auf quadratische Funktionen zurückführen lassen, auch aus der jeweiligen Funktionsgleichung ermittelt werden können.
  9. Den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differentialquotient („momentane“ Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal und auch in formaler Schreibweise) beschreiben
  10. den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können
  11. Eigenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen

Sie erklären diese Grundbegriffe …

  1. Differenzieren, Ableiten
  2. Tangentensteigung
  3. Nullstellen
  4. Extrempunkte
  5. Unterschied zwischen „Punkten“ und „Stellen“
  6. Wendepunkt
  7. Monotonie
  8. Krümmung
  9. Intervall

Unterlagen und Bücher …

Lehrbuch: Malle 7

  • Kapitel 1 (Gleichungen und Polynomfunktionen)
  • Kapitel 2 (Grundbegriffe der Differentialrechnung)
  • Kapitel 3 (Untersuchung von Polynomfunktionen)
  • Kapitel 4 (Untersuchungen weiterer Funktionen / Differentiationsregeln)
  • Kapitel 5 (Exaktifizierung der Differenzialrechnung)
 

Hinweise für Kursleiter

Die Formulierung der Grundkompetenzen sind mit den BIFIE Vorgaben abgestimmt. Hier ist der Link zum BIFIE Aufgabenpool. Eine Übersicht über alle Grundkompetenzen gibt es hier.

Die Übungsaufgaben von Bifie gibt es auch über einen direkten Link bei Bifie.

2. Thema: Integralrechnung

  • Ermitteln von Stammfunktionen
  • Definieren des bestimmten Integrals
  • Kennen des Zusammenhangs zwischen Differenzieren und Integrieren
  • Berechnen von bestimmten Integralen mit Hilfe von Stammfunktionen unter Verwendung von Integrationsregeln, insbesondere für Polynomfunktionen
  • Arbeiten mit verschiedenen Deutungen des Integrals (insbesondere Flächeninhalt, Volumen)

Sie beherrschen diese Grundkompetenzen …

  1. die Grundfunktionen integrieren
  2. die Substitutionsmethode anwenden und partiell integrieren (einfache Funktionen)
  3. ein bestimmtes Integral berechnen
  4. Flächen und Volumina in Zusammenhang mit Polynomfunktionen berechnen
  5. den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung erkennen und beschreiben
  6. den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben
  7. Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben

Sie erklären diese Grundbegriffe …

  1. Ableitungsfunktion, Stammfunktion
  2. Bestimmtes Integral
  3. Unbestimmtes Integral
  4. Integrationskonstante
  5. Obere und untere Grenze
  6. Polynomfunktion

Unterlagen und Bücher …

Lehrbuch: Malle 8 (noch nicht erschienen) – derzeit noch: Mathematik positiv, Kapitel 1-8
  

Hinweise für Kursleiter

Die Formulierung der Grundkompetenzen sind mit den BIFIE Vorgaben abgestimmt. Hier ist der Link zum BIFIE Aufgabenpool. Eine Übersicht über alle Grundkompetenzen gibt es hier.

Die Übungsaufgaben von Bifie gibt es auch über einen direkten Link bei Bifie.

Wie viel Farbe ist hier auf diesem Bild zu sehen? Die Lösung bringt das Integral. Es hilft, Flächen zu bestimmen.

Aufstiegskolloquium

Sollten Sie in diesem Modul zu Semesterende keine Note erhalten, können Sie im nachfolgenden Semester über den Stoff dieses Moduls ein Aufstiegskolloquium ablegen.

Dies ist eine schriftliche und mündliche Prüfung, die an drei Terminen pro Semester stattfinden. (Link: Termine)

Wir erwarten von Ihnen, dass Sie alle Grundkompetenzen beherrschen. Dies ist notwendig, um das Aufstiegskolloquium positiv zu absolvieren.

Bei der schriftlichen Prüfung werden die Grundkompetenzen geprüft, bei den mündlichen Prüfungen die Erweiterungskompetenzen.

Beim schriftlichen Termin arbeiten Sie selbständig, der mündliche Teil besteht aus einem Gespräch mit der/dem Lehrerin.

Melden Sie sich bitte für diese Termine bei jenen Lehrerinnen an, bei dem/der Sie das Modul inskribiert haben.

Fehlstunden, fehlende Schularbeiten

 

Es gibt in jedem Semester auch einen Nachtermin für Schularbeiten, den Sie bitte mit den Kursleiterinnen besprechen.

Tipp: Wenn Sie an einer Schularbeit, an einem Test, oder an einer Vielzahl an Stunden nicht teilnehmen können, besprechen Sie dieses Problem bitte vor dem jeweiligen Termin mit den Kursleiterinnen. So können fast alle Probleme gelöst werden.

Besondere Hilfestellungen

 

Sollten Sie im Rahmen dieses Kurses besondere Hilfe benötigen, wenden Sie sich bitte an die Kursleiterinnen.

Fachkoordination

Lothar Bodingbauer

Lothar Bodingbauer
lothar.bodingbauer@abendgymnasium.at

Sprechstunde: Freitag 18:45–19:30

Ressourcen

  1. Link: Österreichischer Lehrplan Mathematik (bmbf)
  2. Link für Lehrerinnen: Praxishandbuch Mathematik Oberstufe (BIFIE)
  3. Link für Lehrerinnen und Studierende: Aufgabensammlung (BIFIE)

Auszug aus dem zugehörigen Lehrplan

  • Differentialrechnung
    • Beschreiben von Änderungen durch Änderungsmaße (Differenzenquotient)
    • Definieren des Differentialquotienten (Änderungsrate), ausgehend vom Differenzenquotienten(mittlere Änderungsrate), unter Verwendung eines intuitiven Grenzwertbegriffes
    • Deuten dieser Begriffe als Sekanten- bzw. Tangentensteigung
    • Kennen des Begriffes Ableitungsfunktion, Deuten der ersten Ableitung
    • Deuten der zweiten Ableitung
    • Kennen und Anwenden von Differentiationsregeln, insbesondere zur Ableitung von Polynomfunktionen
    • Untersuchen von Funktionen (insbesondere Polynomfunktionen) bezüglich Monotonie und Krümmungsverhalten, Ermitteln von Extrem- und Wendestellen
    • Anwendungen der Differentialrechnung, beispielsweise aus der Optimierung (Extremwertaufgaben) oder aus der Wirtschaftsmathematik
  • Integralrechnung
    • Ermitteln von Stammfunktionen
    • Definieren des bestimmten Integrals
    • Kennen des Zusammenhangs zwischen Differenzieren und Integrieren
    • Berechnen von bestimmten Integralen mit Hilfe von Stammfunktionen unter Verwendung vonIntegrationsregeln, insbesondere für Polynomfunktionen
    • Arbeiten mit verschiedenen Deutungen des Integrals (insbesondere Flächeninhalt, Volumen)

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