Die Kugel ist das heißeste Objekt auf Erden. Alle Stellen, an denen man sie angreifen kann, sind von ihrer Mitte gleich weit entfernt.

Analytische Geometrie in Ebene und Raum mit Kreis und Kugel

Sie lernen die Vektorrechnung kennen.

Vektoren sind einerseits besondere Zahlen einer mehrdimensionalen Zahlenmenge, andererseits kann man sie auch als geometrische Objkete (Pfeile) verstehen.

Sie lernen mit der geometrisch-alytischen Denkweise der Vektorrechnung umzugehen, sowohl in der Ebene, als auch im Raum.

Kreis und Kugel folgen dann in anspruchsvolleren Aufgaben. Sie wiederholen dabei auch, quadratische Gleichungen zu lösen, und begegnen einer wichtigen Anwendung linearer Gleichungssysteme.

Auch mit dem kreativen Teil der Mathematik werden Sie sich auseinandersetzen, nämlich Aufgabenstellungen zu erkennen und Lösungswege zu suchen.

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Teilnehmer/innen

  • Studierende im 5. Semester
  • Voraussetzungen: Mathematik 1-4 oder Anrechnung dieser Module

Anrechnungen

  • Wird angerechnet bei positivem Abschluss der 7. Klasse AHS
  • Wird angerechnet bei negativem Abschluss der 7. Klasse AHS, wenn das folgende Modul Mathematik 6 bei uns positiv abgeschlossen wird

Hier kommt bald ein kleiner Test, den Sie online anonym durchführen können. Wenn Sie auf Anhieb ohne Hilfsmittel mindestens 80% erreichen, kennen Sie sich im Stoff dieses Semesters gut aus.

 

Schul- und Unterrichtsform

Der Unterricht findet im Programm der Abendschule vor Ort in Klassenräumen statt. Im Fernstudium wird ein Teil des Kurses als Selbstudium geführt.

  • Abendschule: 3 Wochenstunden Anwesenheit, Lehrerinnenvortrag und Übungen, Computereinsatz, selbständiges Lernen im Klassenverband, Hausübungen nach Wunsch
  • Fernstudium: Im Schnitt 1,5 Wochenstunden Anwesenheit, 1,5 Wochenstunden Anwesenheit, mindestens 1,5 Wochenstunden Selbststudium, Lehrerinnenvortrag und Übungen, Computereinsatz, e-Learning Plattform: Moodle, selbständiges Lernen im Klassenverband, Hausübungen nach Wunsch und Vorgabe

Buch und Hilfsmittel

  • Mathematikbuch: Malle 7 mit Lösungsbuch
  • Taschenrechner, Formelsammlung
  • Online Mathematiktool: http://www.wolframalpha.com
  • Moodle e-Learning Plattform im Fernstudium: Link (Zugang wird von Lehrerinnen im Kurs bekanntgegeben

Empfohlene Stundenteilnahme

Mindestens 75%

Rahmen für Notengebung

Die genauen Notenmodalitäten werden durch die Kursleiterinnen bekanntgegeben und in einer Leistungsvereinbarung zu Beginn des Semesters festgehalten.

  • Pflicht
    • 1 Schularbeit (1- oder 2-stündig)
  •  Optional von Kursleiterinnen einsetzbar
    • 2. Schularbeit (1- oder 2-stündig)
    • Portfolio
    • Andere Möglichkeiten des Leistungsnachweises
  • Gerne gesehen
    • Mitarbeit
    • Hausübungen


Was sind Grundkompetenzen und Grundbegriffe?

Grundkompetenzen und Grundbegriffe ist das minimale Können und Wissen, das Sie nach Kursende ausgezeichnet beherrschen sollen. Es ist für den Erhalt einer positiven Note ausreichend.

Jede weitere Vertiefung, wie sie etwa im Rahmen des Unterrichts gelehrt und geübt wurde, führt zu mehr Wissen und einer besseren Note.


In zunehmenden Maße werden Schularbeiten und Kolloquienangaben auch am Abendgymnasium dem Format der neuen Reifeprüfung angepasst. Bitte informieren Sie sich in den Mathematikmodulen ab dem 3. Semester bei Ihren Lehrerinnen, ob klassische Schularbeitsaufgaben zu erwarten sind, oder die neuen Aufgabenformate. In aufsteigender Weise werden diese neuen Aufgabenformate bereits von allen Lehrerinnen im 1. und 2. Semester verwendet. Hier finden Sie eine Übersicht über diese Aufgabenformate, die mit den Vorgaben von BIFIE und BMUKK konform sind.

Bitte beachten Sie, dass Unterrichtsaufgaben und Prüfungsaufgaben unterschieden werden müssen.


Inhalt und Aufbau

1. Thema: Quadratische Gleichungen (Wiederholung aus dem 3. Semester)

  • Lösen von quadratischen Gleichungen in einer Variablen
  • Wiederholung aus Mathematik 3: Lösen von linearen Gleichungssystemen in zwei Variablen
  • Untersuchen der Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme in zwei Variablen, geometrische Interpretation
  • Wiederholung aus Mathematik 3: Lösen von linearen Gleichungssystemen in drei Variablen
  • Anwenden der oben genannten Gleichungen und Gleichungssysteme auf inner- und außermathematische Probleme

Sie beherrschen diese Grundkompetenzen …

  1. Quadratgleichung lösen, wissen über Lösungsfälle Bescheid und kennen den graphischen Zusammenhang mit quadratischen Funktionen
  2. Thema Zahlenmengen / quadratische Funktionen: Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über R hinausgehen
  3. ein lineares Gleichungssystem mit zwei und drei Variablen lösen
  4. den Zusammenhang von Gleichungssystemen mit Geraden und Ebenen samt möglichen Lagebeziehungen erklären

Sie erklären diese Grundbegriffe …

  1. Lösungsformel für das Lösen quadratischer Gleichungen
  2. lineares Gleichungssystem in zwei und drei Variablen
  3. Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

Unterlagen und Bücher …

Lehrbuch: Malle 5
  • Kapitel 4 (Quadratische Gleichungen)
  • Kapitel 16.6 (Lösungsfälle für quadratische Gleichungen)
Lehrbuch: Malle 6
  • Kapitel 11.7 (Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen, Lage von drei Ebenen)
 

Hinweise für Kursleiter

Die Formulierung der Grundkompetenzen sind mit den BIFIE Vorgaben abgestimmt. Hier ist der Link zum BIFIE Aufgabenpool. Eine Übersicht über alle Grundkompetenzen gibt es hier.

Die Übungsaufgaben von Bifie gibt es auch über einen direkten Link bei Bifie.

Quadratische Gleichungen werden am Abendgymnasium Wien in das Modul Mathematik 3 vorgezogen, obwohl es im Lehrplan erst für das Mathematik 5 vorgesehen sind. Es wird daher empfohlen, dieses Kapitel kurz und zusammenfassend in diesem Semester zu wiederholen.

Die Übungsaufgaben von Bifie gibt es auch über einen direkten Link bei Bifie.

2. Thema: Vektorrechnung in der Ebene – (analytische Geometrie in R2)

  • Addieren von Vektoren und Multiplizieren von Vektoren mit reellen Zahlen, geometrisches Veranschaulichen dieser Rechenoperationen
  • Ermitteln von Einheitsvektoren und Normalvektoren
  • Arbeiten mit dem skalaren Produkt, Ermitteln des Winkels zweier Vektoren
  • Beschreiben von Geraden in der Parameterform und in der Normalvektorform, Schneiden von Geraden
  • Lösen von geometrischen Aufgaben, gegebenenfalls unter Einbeziehung der Elementargeometrie

Sie beherrschen diese Grundkompetenzen …

Die folgenden Grundkompetenzen beziehen sich auf Vektoren in der Ebene (Vektoren aus R2)

  1. Vektoren als Zahlentupel (Elemente aus R2): Addieren, subtrahieren, multiplizieren mit einem Skalar; im Zusammenhang der Aufgabenstellung erklären, was das bedeutet
  2. Vektoren als Pfeile zeichnen, Pfeile im Koordinatensystem als Vektoren anschreiben
  3. Vektoren als Pfeile graphisch addieren, subtrahieren, mit einem Skalar multiplizieren
  4. Vektor aus zwei Punkten berechnen
  5. Normalvektor eines Vektors bestimmen
  6. Einheitsvektor bestimmen
  7. Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen
  8. Nachweisen, dass zwei Vektoren senkrecht stehen (durch Skalarmultiplikation)
  9. Nachweisen, dass zwei Vektoren parallel sind
  10. Länge eines Vektors (einer Strecke zwischen zwei Punkten) bestimmen (Betrag)
  11. Die Koordinaten eines Endpunktes bestimmen, indem man von einem Startpunkt den Richtungsvektor eine vorgegebene Länge „geht“
  12. Gerade durch zwei Punkte bestimmen (Parameterform)
  13. Gerade durch zwei Punkte bestimmen (Normalvektorform / parameterfreie Form)
  14. Zeigen, dass ein Punkt auf einer Geraden liegt
  15. Mittelpunkt zwischen zwei Punkten bestimmen
  16. Senkrechte Gerade auf eine Gerade bestimmen
  17. Normalvektorform und Parameterform einer Geraden ineinander umwandeln
  18. Zwei Geraden schneiden, egal in welcher Form sie gegeben sind
  19. Eine Geradengleichung interpretieren (erklären, was sie bedeutet), sowohl in Paramterform als auch in Normalvektorform
  20. Dreieck: Höhenschnittpunkt, In- und Umkreismittelpunkt und Schwerpunkt durch den Schnitt von Geraden (welchen?) angeben
  21. Dreieck: beweisen können, dass 3 Punkte ein rechtwinkeliges Dreieck bilden
  22. Viereck: beweisen können, dass 4 Punkte ein Viereck bilden

Sie erklären diese Grundbegriffe …

  1. Vektor, Tupel, algebraisches Objekt
  2. Pfeil als Darstellungsform eines Tupels
  3. Skalar
  4. Skalarmultiplikation
  5. Multiplikation mit einem Skalar
  6. Winkel zwischen zwei Vektoren
  7. Einheitsvektor
  8. Richtungsvektor
  9. Gerade, Strecke
  10. Parameterform und Normalvektorform (=parameterfreie Form) einer Geraden

Unterlagen und Bücher …

Lehrbuch: Malle 5

  • Kapitel 11 (Vektoren)
  • Kapitel 12 (Geometrische Darstellung von Vektoren und deren Rechenoperationen)
  • Kapitel 13 (Betrag und Winkelmaß von Vektoren)
  • Kapitel 14 (Geraden in R2)

Nachlesen und Verstehen der Grundkompetenzen mit unserer Schnellübersicht für Vektoren in R2 und R3

 

Hinweise für Kursleiter

Die Formulierung der Grundkompetenzen sind mit den BIFIE Vorgaben abgestimmt. Hier ist der Link zum BIFIE Aufgabenpool. Eine Übersicht über alle Grundkompetenzen gibt es hier.

Die Übungsaufgaben von Bifie gibt es auch über einen direkten Link bei Bifie.

Achtung: Bei der neuen Matura wird Vektorrechnung ebenso wie Trigonometrie eine untergeordnete Rolle spielen. Das heißt, dass in diesem 5. Semester viel Zeit zur Verfügung steht, Vernetzungen zu üben, und nicht so sehr in der Vektorrechnung in die Tiefe zu gehen.

3. Thema: Vektorrechnung im Raum – (analytische Geometrie in R3)

  1. Übertragen bekannter Begriffe und Methoden aus der zweidimensionalen analytischen Geometrie, Erkennen der Grenzen dieser Übertragbarkeit
  2. Beschreiben von Geraden und Ebenen
  3. Lösen von geometrischen Aufgaben

Sie beherrschen diese Grundkompetenzen …

  1. Fertigkeiten der Vektorrechnung der Ebene auch in den Raum übertragen
  2. Aus drei Punkten eine Ebene aufstellen – in Parameterform und Normalvektorform
  3. Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier Vektoren
  4. Grundlegende geometrische Aufgaben auch im Raum lösen
  5. Normalabstand Punkt – Ebene berechnen
  6. Schnittwinkel zweier Ebenen bestimmen
  7. Zeigen, dass ein Punkt auf einer Ebene liegt
  8. Eine Gerade in Parameterform mit einer Ebene in Normalvektorform (=parameterfreie Form) schneiden
  9. Drei Ebenen in Normalvektorform schneiden, Lösungsfälle erkennen und geometrisch beschreiben

Sie erklären diese Grundbegriffe …

  1. Ebenengleichung
  2. Ebene in Parameterform
  3. Ebene in Normalvektorform (=parameterfreie Form)
  4. Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

Unterlagen und Bücher …

Lehrbuch: Malle 6

  • Kapitel 10 (Vektoren in R3)
  • Kapitel 11 (Geraden und Ebenen im Raum)
  • Kapitel 11.7 (Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen, Lage von drei Ebenen)
  

Hinweise für Kursleiter

Die Formulierung der Grundkompetenzen sind mit den BIFIE Vorgaben abgestimmt. Hier ist der Link zum BIFIE Aufgabenpool. Eine Übersicht über alle Grundkompetenzen gibt es hier.

Die Übungsaufgaben von Bifie gibt es auch über einen direkten Link bei Bifie.

Hinweis: Folgende Kompetenz sieht das BIFIE ausdrücklich nicht als Grundkompetenz an – ist aber sehr wohl als Erweiterungskompetenz gedacht
  • zwei Vektoren vektoriell multiplizieren und wissen, was dabei herauskommt
Achtung: Bei der neuen Matura wird Vektorrechnung ebenso wie Trigonometrie eine untergeordnete Rolle spielen. Das heißt, dass in diesem 5. Semester viel Zeit zur Verfügung steht, Vernetzungen zu üben, und nicht so sehr in der Vektorrechnung in die Tiefe zu gehen.

4. Thema: Kreis und Kugel – nichtanalytische Geometrie

  • Beschreiben von Kreisen durch Gleichungen
  • Schneiden von Kreisen mit Geraden, Ermitteln von Tangenten

Sie beherrschen diese Grundkompetenzen …

  1. Aus Mittelpunkt und Radius eine Kreis- oder Kugelgleichung aufstellen
  2. Zeigen, dass Punkt auf Kreis oder Kugel liegt
  3. Die Tangente an einen Kreis oder Kugel bestimmen
  4. Eine Gerade mit einem Kreis und mit einer Kugel schneiden, Lösungsfälle erkennen

Sie erklären diese Grundbegriffe …

  1. Kreis
  2. Kreisgleichung
  3. Berührbedingung
  4. Passante, Tangente, Sekante

Unterlagen und Bücher …

Lehrbuch: Malle 7

  • Kapitel 6 (Kreis und Kugel)
 

Hinweise für Kursleiter

Die Formulierung der Grundkompetenzen sind mit den BIFIE Vorgaben abgestimmt. Hier ist der Link zum BIFIE Aufgabenpool. Eine Übersicht über alle Grundkompetenzen gibt es hier.

Die Übungsaufgaben von Bifie gibt es auch über einen direkten Link bei Bifie.

Achtung: Bei der neuen Matura wird Vektorrechnung ebenso wie Trigonometrie eine untergeordnete Rolle spielen. Das heißt, dass in diesem 5. Semester viel Zeit zur Verfügung steht, Vernetzungen zu üben, und nicht so sehr in der Vektorrechnung in die Tiefe zu gehen.

Diese Kondensstreifen kreuzen sich am zweidimensionalen Bild vom dreidimensionalen Himmel.

Aufstiegskolloquium

Sollten Sie in diesem Modul zu Semesterende keine Note erhalten, können Sie im nachfolgenden Semester über den Stoff dieses Moduls ein Aufstiegskolloquium ablegen.

Dies ist eine schriftliche und mündliche Prüfung, die an drei Terminen pro Semester stattfinden. (Link: Termine)

Wir erwarten von Ihnen, dass Sie alle Grundkompetenzen beherrschen. Dies ist notwendig, um das Aufstiegskolloquium positiv zu absolvieren.

Bei der schriftlichen Prüfung werden die Grundkompetenzen geprüft, bei den mündlichen Prüfungen die Erweiterungskompetenzen.

Beim schriftlichen Termin arbeiten Sie selbständig, der mündliche Teil besteht aus einem Gespräch mit der/dem Lehrerin.

Melden Sie sich bitte für diese Termine bei jenen Lehrerinnen an, bei dem/der Sie das Modul inskribiert haben.

Fehlstunden, fehlende Schularbeiten

 

Es gibt in jedem Semester auch einen Nachtermin für Schularbeiten, den Sie bitte mit den Kursleiterinnen besprechen.

Tipp: Wenn Sie an einer Schularbeit, an einem Test, oder an einer Vielzahl an Stunden nicht teilnehmen können, besprechen Sie dieses Problem bitte vor dem jeweiligen Termin mit den Kursleiterinnen. So können fast alle Probleme gelöst werden.

Besondere Hilfestellungen

 

Sollten Sie im Rahmen dieses Kurses besondere Hilfe benötigen, wenden Sie sich bitte an die Kursleiterinnen.

Fachkoordination

Lothar Bodingbauer

Lothar Bodingbauer
lothar.bodingbauer@abendgymnasium.at

Sprechstunde: Freitag 18:45–19:30

Ressourcen

  1. Link: Österreichischer Lehrplan Mathematik (bmbf)
  2. Link für Lehrerinnen: Praxishandbuch Mathematik Oberstufe (BIFIE)
  3. Link für Lehrerinnen und Studierende: Aufgabensammlung (BIFIE)

Auszug aus dem zugehörigen Lehrplan

  • Quadratische Gleichungen
    • Lösen von quadratischen Gleichungen in einer Variablen
    • Lösen von linearen Gleichungssystemen in zwei Variablen, Untersuchen der Lösbarkeit dieser Gleichungssysteme, geometrische Interpretation
    • Lösen von linearen Gleichungssystemen in drei Variablen
    • Anwenden der oben genannten Gleichungen und Gleichungssysteme auf inner- und außermathematische Probleme
  • Vektoren und analytische Geometrie der Ebene
    • Addieren von Vektoren und Multiplizieren von Vektoren mit reellen Zahlen, geometrisches Veranschaulichen dieser Rechenoperationen
    • Ermitteln von Einheitsvektoren und Normalvektoren
    • Arbeiten mit dem skalaren Produkt, Ermitteln des Winkels zweier Vektoren
    • Beschreiben von Geraden in der Parameterform und in der Normalvektorform, Schneiden von Geraden
    • Lösen von geometrischen Aufgaben, gegebenenfalls unter Einbeziehung der Elementargeometrie
  • Analytische Geometrie des Raumes
    • Übertragen bekannter Begriffe und Methoden aus der zweidimensionalen analytischen
    • Geometrie, Erkennen der Grenzen dieser Übertragbarkeit
    • Beschreiben von Geraden und Ebenen
    • Lösen von geometrischen Aufgaben
  • Nichtlineare analytische Geometrie
    • Beschreiben von Kreisen durch Gleichungen
    • Schneiden von Kreisen mit Geraden, Ermitteln von Tangenten

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