Bakterien und Viren vermehren sich – wie im Labor – meist exponentiell. Dieses Wachstum tritt auf, wenn pro Zeiteinheit ein Prozentsatz der bereits vorhandenen Menge dazukommt.

Winkelfunktionen, Logarithmus- und Exponentialfunktionen

In diesem Semester lernen Sie die Trigonometrie kennen. Die Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens werden Sie dabei begleiten. Mit ihnen können Sie sich in Dreiecken zurechtfinden und fehlende Seiten und Winkel in Zeichnung und Landschaft berechnen.

Sie  nähern sich in diesem Kurs auch den regelmäßigen und oft überraschenden Eigenschaften der Winkelfunktionen selbst und erfahren über ihren theoretischen Hintergrund. Denn: alles was schwingt, klingt, und es ist mit den Winkelfunktionen gut zu begreifen.

Im zweiten Teil des Kurses lernen Sie Umgang und Bedeutung der Logarithmus- und Exponentialfunktionen im naturwissenschaftlichen Kontext.

Auch dem kreativen Teil der Mathematik werden Sie begegnen, nämlich Aufgabenstellungen zu erkennen und Lösungswege zu suchen.

Gehe schnell zu: Übersicht | Mathematik 1 | Mathematik 2 | Mathematik 3 | Mathematik 4 | Mathematik 5 | Mathematik 6 | Mathematik 7 | Mathematik 8

Teilnehmer/innen

  • Studierende im 4. Semester
  • Voraussetzungen: Mathematik 1-3 oder Anrechnung dieser Module

Anrechnungen

  • Wird angerechnet bei positivem Abschluss der 6. Klasse AHS

Hier kommt bald ein kleiner Test, den Sie online anonym durchführen können. Wenn Sie auf Anhieb ohne Hilfsmittel mindestens 80% erreichen, kennen Sie sich im Stoff dieses Semesters gut aus.

Schul- und Unterrichtsform

Der Unterricht findet im Programm der Abendschule vor Ort in Klassenräumen statt. Im Fernstudium wird ein Teil des Kurses als Selbstudium geführt.

  • Abendschule: 3 Wochenstunden Anwesenheit, Lehrerinnenvortrag und Übungen, Computereinsatz, selbständiges Lernen im Klassenverband, Hausübungen nach Wunsch
  • Fernstudium: Im Schnitt 1,5 Wochenstunden Anwesenheit, mindestens 1,5 Wochenstunden Selbststudium, Lehrerinnenvortrag und Übungen, Computereinsatz, e-Learning Plattform: Moodle, selbständiges Lernen im Klassenverband, Hausübungen nach Wunsch und Vorgabe

Buch und Hilfsmittel

  • Mathematikbuch: Malle 5, 6
  • Taschenrechner, Formelsammlung
  • Online Mathematiktool: http://www.wolframalpha.com
  • Moodle e-Learning Plattform im Fernstudium: Link (Zugang wird von Lehrerinnen im Kurs bekanntgegeben

Empfohlene Stundenteilnahme

Mindestens 75%

Rahmen für Notengebung

Die genauen Notenmodalitäten werden durch die Kursleiterinnen bekanntgegeben und in einer Leistungsvereinbarung zu Beginn des Semesters festgehalten.

  • Pflicht
    • 1 Schularbeit (1- oder 2-stündig)
  •  Optional von Kursleiterinnen einsetzbar
    • 2. Schularbeit (1- oder 2-stündig)
    • Portfolio
    • Andere Möglichkeiten des Leistungsnachweises
  • Gerne gesehen
    • Mitarbeit
    • Hausübungen


Was sind Grundkompetenzen und Grundbegriffe?

Grundkompetenzen und Grundbegriffe ist das minimale Können und Wissen, das Sie nach Kursende ausgezeichnet beherrschen sollen. Es ist für den Erhalt einer positiven Note ausreichend.

Jede weitere Vertiefung, wie sie etwa im Rahmen des Unterrichts gelehrt und geübt wurde, führt zu mehr Wissen und einer besseren Note.


In zunehmenden Maße werden Schularbeiten und Kolloquienangaben auch am Abendgymnasium dem Format der neuen Reifeprüfung angepasst. Bitte informieren Sie sich in den Mathematikmodulen ab dem 3. Semester bei Ihren Lehrerinnen, ob klassische Schularbeitsaufgaben zu erwarten sind, oder die neuen Aufgabenformate. In aufsteigender Weise werden diese neuen Aufgabenformate bereits von allen Lehrerinnen im 1. und 2. Semester verwendet. Hier finden Sie eine Übersicht über diese Aufgabenformate, die mit den Vorgaben von BIFIE und BMUKK konform sind.

Bitte beachten Sie, dass Unterrichtsaufgaben und Prüfungsaufgaben unterschieden werden müssen.


Inhalt und Aufbau

Die ersten beiden Semester in Mathematik dienen hauptsächlich der Wiederholung und Vertiefung des Lehrstoffes der Unterstufe bzw. der Hauptschule und sind vor allem als Einstiegshilfe für jene Studierenden gedacht, die über einen längeren Zeitraum keine weiterführende Schule besucht haben.

1. Thema: Trigonometrie

  • Definieren von sin, cos, tan im rechtwinkeligen Dreieck
  • Durchführen von Berechnungen an rechtwinkligen und allgemeinen Dreiecken, an Figuren und Körpern

Sie beherrschen diese Grundkompetenzen …

  1. sin, cos und tan im rechtwinkeligen Dreieck identifizieren und für jeden Winkel mit Hilfe von Katheten bzw. Hypotenuse angeben
  2. sin, cos, tan eines Winkels berechnen und umgekehrt den Winkel bestimmen, wenn sin, cos oder tan dieses Winkels bekannt sind
  3. einfache Skizzen der Situation aus einfachen Angabetexten (Landschaft, zwei- und dreidimensionale geometrische Objekte)  herstellen und richtig beschriften
  4. Trigonometrieaufgaben lösen, die mit rechtwinkeligen Dreiecken zu lösen sind

Sie erklären diese Grundbegriffe …

  1. Sinus, Cosinus, Tangens
  2. rechtwinkeliges und allgemeines Dreieck
  3. Katheten und Hypotenuse
  4. Horizontalebene und Vertikalebene
  5. Höhenwinkel und Tiefenwinkel

Unterlagen und Bücher …

Lehrbuch: Malle 5

  • Kapitel 5 (Rechtwinkelige Dreiecke)
  • Kapitel 6 (Allgemeine Dreiecke)

Hinweise für Kursleiter

Die Formulierung der Grundkompetenzen sind mit den BIFIE Vorgaben abgestimmt. Hier ist der Link zum BIFIE Aufgabenpool. Eine Übersicht über alle Grundkompetenzen gibt es hier.

Die Übungsaufgaben von Bifie gibt es auch über einen direkten Link bei Bifie.

BIFIE:  Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
Ergänzung: die bisher an durchgeführten Vermessungsaufgaben auch mit Sinussatz und Cosinussatz wird man daher als Erweiterungskompetenzen sehen:
  • Sinussatz
  • Cosinussatz
Achtung: Bei der neuen Matura Trigonometrie ebenso wie die Vektorrechnung eine eher untergeordnete Rolle spielen. Das heißt, dass in diesem 4. Semester mehr Zeit zur Verfügung steht, Vernetzungen zu üben, und nicht so sehr in der Trigonometrie mit komplexen Vermessungsaufgaben in die Tiefe zu gehen.

2. Thema: Reelle Funktionen: Winkelfunktionen, Logarithmus- und Exponentialfunktion

  • Definieren, Darstellen und Untersuchen von Winkelfunktionen im Einheitskreis für Winkel zwischen 0° und 360°
  • Gradmaß und Bogenmaß
  • Definieren, Darstellen und Untersuchen von Exponential- und Logarithmusfunktionen
  • Rechenregeln für Logarithmus
  • Arbeiten mit Exponentialfunktionen bei Wachstum und Zerfall

Sie beherrschen diese Grundkompetenzen …

  1. Gradmaß und Bogenmaß ineinander umrechnen
  2. sin, cos und tan im Einheitskreis identifizieren
  3. Sinus- Cosinus- und Tangensfunktion skizzieren bzw. identifizieren und ihre speziellen Eigenschaften benennen
  4. durch den Einheitskreis erklären, warum Sin- und Cosinuswerte maximal 1 und minimal -1 betragen
  5. im Einheitskreis und mit Taschenrechner die Werte von sin, cos und tan eines Winkels bestimmen
  6. den Zusammenhang von Sinus- und Cosinusfunktion erklären
  7. den Zusammenhang von Exponential- und Logarithmusfunktion  erklären
  8. einfache Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen
  9. die Exponential- und Logarithmusfunktion identifizieren bzw. skizzieren, mit einer Wertetabelle genau zeichnen und die wesentlichen Eigenschaften einer Exponentialfunktion benennen
  10. die Logarithmenregeln anwenden dadurch einfache Logarithmen zusammenfassen und zerteilen
  11. einfache Exponentialausdrücke zusammenfassen und zerteilen
  12. einen exponentiellen Zerfall und exponentielles Wachstum in einer Skizze richtig zeigen und benennen, wie die Koeffizienten einer Exponentialfunktion beschaffen sein müssen, dass Zerfall oder Wachstum die Folge ist
  13. aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten
  14. für gegebene Zusammenhänge entscheiden, ob man sie als Funktionen betrachten kann
  15. aus einfachen Textbeispielen eine funktionale Abhängigkeit erkennen und anschreiben
  16. Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und den Funktionstyp zuordnen
  17. Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln
  18. Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
  19. Exponentialfunktion: f(x) = a · eλx : Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können, Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können, die Wirkung der Parameter a und b (bzw. eλ) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können, die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
  20. Sinusfunktion: Grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art f(x) = a · sin(b · x) als Allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln, aus Graphen und Gleichungen von Allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können, die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten, Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können, Wissen, dass cos(x) = sin( x + π/2 ). Hinweis: Während zur Auflösung von rechtwinkligen Dreiecken sin, cos und tan verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die Allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
  21. Absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können

Sie erklären diese Grundbegriffe …

  1. Einheitskreis
  2. Funktion
  3. Winkelfunktion
  4. Periodizität
  5. Monotonie
  6. Extrempunkte
  7. Wendepunkte
  8. Asymptotisches Verhalten
  9. Schnittpunkt mit der Achse
  10. Exponentialgleichung
  11. Logarithmusgleichung
  12. Exponentialfunktion
  13. Logarithmusfunktion
  14. Verdoppelungszeit und Halbwertszeit

Unterlagen und Bücher …

Lehrbuch: Malle 5
  • Kapitel 7 (Grundlagen reelle Funktionen)
  • Malle 6, Kapitel 1.6 (Logarithmen)
  • Kapitel 4 (Exponential- und Logarithmusfunktion)
  • Kapitel 5 (Winkelfunktionen)
 

Hinweise für Kursleiter

Die Formulierung der Grundkompetenzen sind mit den BIFIE Vorgaben abgestimmt. Hier ist der Link zum BIFIE Aufgabenpool. Eine Übersicht über alle Grundkompetenzen gibt es hier.

Achtung: Bei der neuen Matura Trigonometrie ebenso wie die Vektorrechnung eine eher untergeordnete Rolle spielen. Das heißt, dass in diesem 4. Semester mehr Zeit zur Verfügung steht, Vernetzungen zu üben, und nicht so sehr in der Trigonometrie mit komplexen Vermessungsaufgaben in die Tiefe zu gehen.

Die Übungsaufgaben von Bifie gibt es auch über einen direkten Link bei Bifie.

BIFIE: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt, auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit) wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund stehen die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch f : A → B, x → f(x)). Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten. Das rechnerische Ermitteln von Schnittpunkten von Funktionen beschränkt sich auf jene Fälle, die durch die im Inhaltsbereich Algebra angeführten Grundkompetenzen abgedeckt sind (lineare, quadratische Gleichungen). Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.

Die Grundaufgabe der Trigonometrie besteht darin, aus Seiten und Winkeln von Dreiecken Informationen über das Gesamtbild zu erhalten.

Aufstiegskolloquium

Sollten Sie in diesem Modul zu Semesterende keine Note erhalten, können Sie im nachfolgenden Semester über den Stoff dieses Moduls ein Aufstiegskolloquium ablegen.

Dies ist eine schriftliche und mündliche Prüfung, die an drei Terminen pro Semester stattfinden. (Link: Termine)

Wir erwarten von Ihnen, dass Sie alle Grundkompetenzen beherrschen. Dies ist notwendig, um das Aufstiegskolloquium positiv zu absolvieren.

Bei der schriftlichen Prüfung werden die Grundkompetenzen geprüft, bei den mündlichen Prüfungen die Erweiterungskompetenzen.

Beim schriftlichen Termin arbeiten Sie selbständig, der mündliche Teil besteht aus einem Gespräch mit der/dem Lehrerin.

Melden Sie sich bitte für diese Termine bei jenen Lehrerinnen an, bei dem/der Sie das Modul inskribiert haben.

Fehlstunden, fehlende Schularbeiten

 

Es gibt in jedem Semester auch einen Nachtermin für Schularbeiten, den Sie bitte mit den Kursleiterinnen besprechen.

Tipp: Wenn Sie an einer Schularbeit, an einem Test, oder an einer Vielzahl an Stunden nicht teilnehmen können, besprechen Sie dieses Problem bitte vor dem jeweiligen Termin mit den Kursleiterinnen. So können fast alle Probleme gelöst werden.

Besondere Hilfestellungen

 

Sollten Sie im Rahmen dieses Kurses besondere Hilfe benötigen, wenden Sie sich bitte an die Kursleiterinnen.

Fachkoordination

Lothar Bodingbauer

Lothar Bodingbauer
lothar.bodingbauer@abendgymnasium.at

Sprechstunde: Freitag 18:45–19:30

Ressourcen

  1. Link: Österreichischer Lehrplan Mathematik (bmbf)
  2. Link für Lehrerinnen: Praxishandbuch Mathematik Oberstufe (BIFIE)
  3. Link für Lehrerinnen und Studierende: Aufgabensammlung (BIFIE)

Auszug aus dem zugehörigen Lehrplan

  • Trigonometrie
    • Definieren von sin a, cos a, tan a für 0°≤ a≤ 360°
    • Durchführen von Berechnungen an rechtwinkligen und allgemeinen Dreiecken, an Figuren und Körpern
  • Reelle Funktionen
    • Definieren, Darstellen und Untersuchen von Winkelfunktionen (Bogenmaß) sowie von Exponential- und Logarithmusfunktionen
    • Arbeiten mit Exponentialfunktionen in anwendungsorientierten Bereichen

Gehe schnell zu: Übersicht | Mathematik 1 | Mathematik 2 | Mathematik 3 | Mathematik 4 | Mathematik 5 | Mathematik 6 | Mathematik 7 | Mathematik 8